I sistemi lineari

I metodi di risoluzione

Consideriamo intanto un sistema di due equazioni in due incognite:

Trovare le soluzioni del sistema vuol dire trovare i valori delle due incognite che soddisfino entrambe le equazioni. Ci sono quattro metodi di risoluzione:

• Sostituzione
• Confronto
• Addizione e sottrazione o combinazione lineare
• Cramer

Metodo di sostituzione

Questo è il metodo concettualmente più semplice, ma talvolta antipatico da applicare. Si risolve un’equazione rispetto a un’incognita e si sostituisce l’espressione trovata nell’altra. Adesso abbiamo un’equazione in una sola incognita e possiamo risolverla. Forse con un esempio si chiarisce meglio.

Le soluzioni sono quindi x = –1 e y = 1.

Metodo di confronto

Questo metodo è analogo al precedente. Si avvale del principio che se a = b e b = c, allora a = c. Si risolvono entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile, e poi si pongono uguali i secondi membri. Risolviamo il sistema di prima con questo metodo.

Metodo di addizione o sottrazione o di riduzione

Questo metodo è concettualmente più difficile ma spesso risulta più semplice da applicare. Si moltiplica ogni equazione per un numero in modo tale che i coefficienti di un’incognita siano uguali nelle due equazioni. Per il principio di combinazione lineare, si può sostituire una delle due equazioni con la differenza fra le due equazioni. Mi spiego con un esempio.

Metodo di Cramer

Questo metodo non si può spiegare, perché è una conseguenza del calcolo matriciale. Però è comodo. È difficile da spiegare in teoria, spero che mi capirete con un esempio.

Si costruiscono tre determinanti di due righe per due colonne; il primo, Δ, contiene i coefficienti delle incognite; nel secondo, Δx, bisogna sostituire i coefficienti della x con il termine noto, e analogamente per Δy e y. In pratica:

Questi determinanti si calcolano in questo modo:

Quindi

Adesso abbiamo le soluzioni:

Quando un sistema ammette soluzioni?

Questo sistema generico ammette soluzioni se ; invece se il sistema è impossibile; in particolare se il sistema è indeterminato.

Quando le incognite e le equazioni non sono due

• Quando un sistema di primo grado ha più incognite che equazioni è indeterminato.
• Quando un sistema di primo grado ha più equazioni che incognite è normalmente impossibile, a meno che un’equazione non sia combinazione lineare delle altre; in tal caso si può eliminare un’equazione sovrabbondante e risolvere il sistema.
• I sistemi di tre equazioni in tre incognite si possono risolvere usando il metodo della sostituzione o il metodo di Cramer, ricordando che il calcolo dei determinanti di tre righe e tre colonne si esegue in questo modo (regola di Sarrus):

x = – Dx/D,       y = – Dy/ D      z = – Dz/D

Guarda questa presentazione   e   quest’altra. Clicca qui e trovi una pagina contenente un risolutore automatico che ti permette di trovare velocemente le soluzioni di un sistema di n equazione in m   incognite