Equazioni parametriche e ripasso equazioni secondo grado

 Definizione

Un’equazione di II grado si dice parametrica quando i coefficienti dell’equazione sono letterali (ovvero non sono tutti numerici) e tali lettere (e non l’incognita) devono soddisfare determinate condizioni.

Si studiano i valori che tali lettere, dette parametri, devono avere per rendere vere le condizioni richieste dall’esercizio.

 

 

 

  RICHIESTA                                          CONDIZIONI

Le radici siano reali	Δ≥0
Le radici siano reali e distinte	Δ>0
Le radici siano reali e coincidenti	Δ=0
Le radici non siano reali	Δ<0
Una soluzione abbia un valore assegnato k∈ℝ	Si sostituisce nellequazione, al posto di x, il valore k e si risolve lequazione nel parametro.
La somma delle radici sia pari a un valore assegnato k∈ℝ	x1+x2=−b/a=k
Il prodotto delle radici sia pari a un valore assegnato k∈ℝ	x1∙x2=c/a=k
La differenza delle radici sia pari a un valore assegnato k∈ℝ	x1−x2= radq(Δ)/a=k
Le radici siano opposte	b=0
Le radici siano reciproche	x1=1/x2→x1∙x2=c/a=1
Le radici siano opposte e reciproche (antireciproche)	x1=−1/x2→x1∙x2=c/a=−1
La somma dei quadrati delle radici sia pari a k≥0	(x1)^2+(x2)^2=k→               (x1+x2)^2− 2×1∙x2 =k→         (−b/a)^2−2c/a=k
La somma dei cubi delle radici sia pari a k∈ℝ	(x1)^3+(x2)^3=k→(x1+x2)^3 −3∙x1∙x2(x1+x2)=k→(−b/a)^3 −3 ∙c/a∙(−b/a)=k
La somma dei reciproci delle radici sia pari a k∈ℝ	1/x1+1/x2=k→(x1+x2)/(x1∙x2) =k→(−b/a)/(c/a)=k →−b/c=k
Il prodotto dei reciproci delle radici sia pari a k∈ℝ	1/x1∙1/x2→1/(x1∙x2)=k→            1/(c/a)=k →a/c=k

 

La somma delle soluzioni sia positiva/negativa	x1+x2>0  o  x1+x2<0 → -(b/a)>0  o -(b/a)<0
Il prodotto delle soluzioni sia  positivo/negativo	x1∙x2>0  o  x1∙x2<0 → c/a>0  o  c/a<0

 

Se la somma delle soluzioni deve essere >0, devi imporre -(b/a)>0, cioè (b/a)<0 e ottieni  una disequazione frazionaria: (se il parametro compare al denominatore) allora scriverai numeratore >0, denominatore >0, regola dei segni e tratti negativi; altrimenti devi risolvere una disequazione intera. Se il prodotto deve essere >0, allora devi scrivere (c/a)>0: numeratore >0, denominatore >0, regola dei segni e tratti positivi (naturalmente se la disequazione è frazionaria).
Se qualcosa non è chiaro, scrivimi un testo di un esercizio e io proverò a spiegartelo passo passo.

Qui potete trovare alcuni esercizi svolti sulle equazioni parametriche.

Qui trovate un metodo generale che vi permette di rispondere a qualsiasi quesito, ma è piuttosto complesso!!!

Qui c'è un ripasso delle equazioni di secondo grado.

Qui ci sono esercizi svolti sulle equazioni intere.

Qui ci sono esercizi svolti sulle equazioni frazionarie.