un po' di matematica….e altro

La retta…….ancora

Lo studio delle curve mediante metodi algebrici ebbe inizio nel XVII secolo con le ricerche di P. Fermat (1601-1665) e soprattutto con l’importante trattato La Géométrie di R. Descartes(1596-1650), noto in Italia con il nome di Cartesio, che introdusse nella geometria il cosidetto “metodo delle coordinate“, anche se il problema era stato affrontato anche in epoca antecedente.

«…ho applicato l’algebra dei moderni

alla geometria degli antichi e ho così trovato

i fondamenti di una scienza meravigliosa».

( Renè Descartes, 1596 – 1650)

Se F(x,y) è un polinomio, il luogo dei punti del piano le cui coordinate soddisfano l’equazione F(x,y) = 0 è detto curva algebrica. Il grado del polinomio è detto ordine della curva.

Le curve più semplici sono le rette che si rappresentano mediante equazioni implicite di primo grado nelle variabili x, y:

         ax + by + c = 0  con a, b, c Є R con a, b non entrambi nulli.

In questo sito trovate tutte le possibili rette che si ottengono al variare dei parametri: a, b, c .

Scorrendo la barra laterale avrete la possibilità di vedere il grafico di alcune rette (cliccate su “voglio vedere il grafico”) e se cliccate su “visualizza flash su grafico della retta” c’è un programma che vi permette, scegliendo la forma implicita o quella esplicita, di tracciare il grafico.

Nel caso in cui   b ≠ 0 ,  l’equazione della retta può essere messa in forma esplicita :

 

Il parametro   m   si chiama coefficiente angolare della retta ed il parametro  p  si

chiama ordinata all’origine.

Il coefficiente angolare   m  della retta ne rappresenta la pendenza e l’ordinata all’origine p rappresenta il punto d’intersezione della retta con l’asse delle y.

Ovviamente la forma esplicita non rappresenta le rette del tipo   x = k  , ovvero le  rette parallele all’asse delle  y  e x = 0, l’asse delle y.

 Esercizi sulla trasformazione da una forma all’altra.

Come si disegna una retta ( scorri la barra laterale del sito).

Rette per un punto o fascio di rette o stella di rette

 

Le infinite rette che passano per il punto  P(x0 , y0 )  hanno la seguente equazione

y – y0 = m (x – x0) ,  m è il coefficiente angolare  e P0 ha coordinate (x0, y0 )

Dim:

Scriviamo l’equazione esplita di una retta del piano: y = mx + q, imponiamo a tale retta il passaggio per P0(x0, y0 ) e otteniamo y0 = mx0 + q. Sottraiamo membro a membro le due equazioni: y – y0 = mx + q – (mx0 + q) e, eliminando le parentesi, i termini opposti e mettendo in evidenza la m, perveniamo all’equazione: y – y0 = m (x – x0) c.v.d.

  

Retta per due punti.

 

La retta che passa per i punti        ha la seguente equazione :

I casi in cui la retta è parallela ad un asse coordinato non sono ovviamente contemplati

in questa equazione in quanto i denominatori si annullerebbero.

Dim:

Scriviamo l’equazione di un fascio di rette passanti per A o per B: y – y1 = m (x – x1) (ho scelto il passaggio per A), quindi imponiamo il passaggio per l’altro punto y2 – y1 = m (x2 – x1), dividiamo membro a membro le due equazioni, semplifichiamo e perveniamo all’equazione:

     c.v.d.

Dalla relazione  y2 – y1 = m (x2 – x1), possiamo ricavare      m = frac {y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.

Quindi se conosciamo le coordinate di due punti, applicando la formula precedente troviamo il coefficiente angolare della retta senza trovare l’equazione della retta!!!!

Rette parallele.

Le rette di equazione  y = 2x+3 e y = 2x-4   sono parallele perchè hanno lo stesso coefficiente angolare 2 cioè la stessa pendenza.

Rette perpendicolari.

Le rette di equazione   y = 4x +3  e   y = -1/4 x +2  sono perpendicolari quando

vale la relazione :

m’ = -1/m

(omettiamo la dimostrazione).

 

Distanza di un punto da una retta.

 

La distanza del punto  P dalla retta  r  è :

Esercizio1 sulla retta

Test1 sulla retta

Test2 sulla retta

Test3 sulla retta

Test4 di allenamento sulla retta

Test5 sulla retta

Test6 sulla retta

 

Prova anche tu a costruire la retta di Eulero utilizzando il software Geogebra (il link per scaricarlo lo trovi nella sezione links).

Qui troverai la costruzione.(Dopo aver aperto la cartella “retta” clicca sul file “retta eulero.html“)

Guarda questa presentazione in P.P.

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Commenti su: "La retta…….ancora" (3)

  1. utente anonimo ha detto:

    Oggi abbiamo fatto il compito di matematica!!!Le prime domande erano semplici,ma il resto…Cmq spero che sia andato bene!!!! :=)

  2. Chi sei? Un mio alunno?
    Quali difficoltà hai incontrato negli altri esercizi?

  3. […] aprire questo link per trovare altre informazioni sulla […]

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